Apprendre la résolution de problèmes

Dans beaucoup de cours, mais particulièrement en maths et en sciences, on doit enseigner aux élèves à résoudre des problèmes. La méthode prônée par l’enseignement constructiviste et socio-constructiviste est de laisser les élèves chercher par eux-mêmes, avec plus ou moins d’aide et de guidage de la part de l’enseignant.

C’est en tout cas ce que j’ai expérimenté longtemps en tant qu’élève, et c’est ce qu’on m’a poussé à proposer à mes élèves depuis que j’enseigne. L’enseignant fournit des énoncés de problèmes variés, de difficulté croissante, il peut éventuellement montrer l’exemple avec un ou deux premiers problèmes résolus de façon commune au tableau, et puis ce sont aux élèves de s’attaquer, seuls ou à plusieurs, aux problèmes suivants.

Cette façon de faire a très bien fonctionné sur moi. Mais je ne suis probablement pas très représentative en tant qu’élève, puisque j’ai toujours eu de bons résultats, j’avais des amies avec lesquelles travailler en classe et à domicile, et en plus, j’avais droit à un prof de maths à domicile tous les jours, puisque ma maman était enseignante. On peut donc dire que j’étais une élève favorisée et avec des facilités, en tout cas dans les branches scientifiques.

Depuis que je me plonge dans la littérature scientifique sur le sujet de l’apprentissage, je découvre de plus en plus d’études qui contredisent ce que je croyais et ce qu’on m’a enseigné… dont cette idée que mettre les élèves face à des problèmes à résoudre est la meilleure façon de leur apprendre à les résoudre. C’est donc de ça que je voudrais te parler aujourd’hui.

Si tu es prof d’une matière scientifique, il y a de fortes chances pour que tes cours suivent cette logique : tu démarres un chapitre par une mise en situation, puis tu modélises la nouvelle matière avec des exemples simples d’application. Ces exemples peuvent être réalisés au tableau avec les élèves ou distribués par écrit, dans un manuel ou un support de cours donné aux élèves. Une fois que ces premiers exemples ont été travaillés ensemble, les élèves sont invités à pratiquer les différentes techniques vues à une liste de problèmes de complexité croissante, soit de façon individuelle, soit en petit groupe. L’entraînement peut ensuite se prolonger à domicile, si les exercices ne sont pas terminés en classe. La correction de ces exercices n’est généralement fournie qu’après avoir essayé de résoudre les exercices, avec ou sans succès.

Dans cette approche, la quantité de problèmes déjà résolus entièrement qui sont à la disposition des élèves est très inférieure à la quantité de problèmes à résoudre, dont les élèves n’ont pas accès à la résolution complète. Au mieux, la réponse finale est fournie afin qu’ils puissent vérifier que la leur est correcte, mais si elle ne l’est pas, aucun support ne leur est fourni pour identifier leur erreur, ou pour avancer dans leur résolution s’ils sont complètement bloqués.

C’est là que je vais te présenter ce qu’on appelle “l’effet du problème résolu”. C’est un effet qui a été mis en évidence pour la première fois dans les années 80. Une équipe de chercheurs a constaté que des élèves apprenaient mieux en étudiant des exemples de problèmes résolus plutôt qu’en résolvant des problèmes équivalents.

Plus concrètement, l’étude portait sur des problèmes d’algèbre. Un groupe d’élèves recevait 5 problèmes résolus puis devait en résoudre un 6e, alors qu’un autre groupe d’élèves recevait 5 problèmes à résoudre avant de devoir résoudre le 6e problème. C’est le premier groupe, celui qui a reçu 5 problèmes déjà résolus, qui réussissait le mieux la résolution du 6e problème. Depuis, ce résultat a été reproduit des centaines de fois, dans des disciplines scientifiques, technologiques, littéraires et linguistiques.

L'effet du problème résolu montre donc que l'apprentissage est meilleur si la solution du problème est donnée simultanément à son énoncé.

Cet effet peut être expliqué par la théorie de la charge cognitive, qui stipule que la résolution de problèmes nécessite des ressources de la mémoire de travail, qui sont limitées. La recherche de solutions à un problème surcharge la mémoire de travail, détournant les ressources de celle-ci qui pourraient être utilisées à des fins d'apprentissage. En étudiant des exemples résolus, la charge sur la mémoire de travail est réduite car la recherche est éliminée, permettant ainsi une meilleure attention et une meilleure compréhension des relations essentielles entre les étapes de résolution des problèmes.

L’enseignement traditionnel ou constructiviste ne prend en général pas compte de cet effet du problème résolu. Lorsqu’on regarde dans la plupart des manuels scolaires, on ne trouve souvent que peu d’exemples résolus. Ils ne sont en général présents que pour servir d’illustration à de nouvelles procédures ou de nouveaux concepts. Les élèves vont plutôt découvrir la matière à l’aide de situations problèmes et pourront ensuite s’exercer sur des séries d’exercices ou de problèmes. Les meilleurs élèves vont progresser au sein de cette série d’exercices jusqu’à arriver aux exercices les plus complexes, mais les élèves les plus faibles vont lâcher prise avant d’arriver jusque-là et vont, au final, ne résoudre que peu de problèmes. Les élèves peuvent donc consacrer beaucoup de temps à essayer de résoudre des problèmes, sans forcément y arriver.

L’utilisation du temps n’est donc pas idéale dans ce genre d’enseignement. Les meilleurs élèves vont avancer normalement et s’en sortir, mais les élèves les plus faibles n’y arriveront pas. Avec ce type de fonctionnement, les écarts se creusent de plus en plus entre les meilleurs élèves et les élèves plus faibles.

De plus, lorsqu’un élève doit trouver comment résoudre un problème, il peut perdre beaucoup de temps à essayer des combinaisons de données inutiles et non pertinentes, il peut essayer de progresser par des chemins inadéquats, ce qui peut mener à un apprentissage nul malgré le temps passé sur le problème, voire même à un apprentissage négatif si l’élève fixe des conceptions erronées.

À l’inverse, l’utilisation de problèmes résolus nécessite moins de temps de traitement que de laisser les élèves chercher. Le temps dont nous disposons en classe est précieux et réduit, il est donc important de l’utiliser à bon escient. Les problèmes résolus permettent donc d’accélérer les temps de résolution, en plus de réduire les taux d’erreur sur des problèmes similaires que les élèves rencontreront lors des évaluations.

Les problèmes résolus servent également de modèles aux élèves, montrant clairement ce que l’enseignant attend de l’élève. C’est un bon exemple du niveau de rigueur attendu dans les copies des élèves. Un problème résolu montre à quoi ressemble un exercice réussi ; l’élève peut mieux visualiser l’écart entre sa production actuelle et la production finale attendue.

L'effet du problème à compléter

Un inconvénient potentiel des problèmes résolus, c’est qu’ils n’obligent pas les élèves à les étudier attentivement. Les élèves peuvent vite devenir passifs et lire rapidement la résolution en pensant avoir compris. Pour contrer cet inconvénient, il est possible d’utiliser des problèmes à compléter plutôt que des problèmes entièrement résolus. Il a d’ailleurs été montré qu’il est généralement plus efficace d'alterner les problèmes résolus et les problèmes à résoudre, que de ne présenter que des problèmes résolus.

Un problème à compléter est donc à mi-chemin entre le problème résolu et le problème à résoudre : le problème est partiellement résolu, mais l’élève doit compléter la solution en résolvant une partie du problème. Cela permet de concentrer l’élève sur certaines parties spécifiques du problème et de s’assurer de sa compréhension des parties choisies.

Une approche pédagogique combinant problèmes résolus et problèmes à compléter peut consister à commencer par fournir des problèmes résolus aux élèves, puis de fournir des exemples de moins en moins résolus, que les élèves doivent compléter eux-mêmes. La partie à compléter s’agrandit petit à petit. Au fur et à mesure, les problèmes comportent de moins en moins d’étapes résolues et de plus en plus d’étapes que les élèves doivent compléter eux-mêmes. L’apprentissage est favorisé lorsque les parties à compléter se trouvent en fin de problème. Cela permet aux élèves de passer plus progressivement des problèmes résolus aux problèmes à résoudre.

Effet de renversement dû à l’expertise

Cet effet du problème résolu se vérifie chez les élèves novices, avec très peu de connaissances sur un sujet ou une nouvelle matière. Par contre, avec l'augmentation de l'expertise des élèves, l'effet peut s'inverser, les étudiants plus expérimentés bénéficiant davantage de la résolution autonome de problèmes que de l'étude d'exemples résolus. On parle alors de l’effet de renversement dû à l’expertise. Plus un apprenant devient expert dans un domaine, moins il profitera des exemples résolus. Ils peuvent même avoir un effet négatif avec des apprenants experts.

Cela souligne l'importance de fournir une guidance extensive aux novices, tandis que cette guidance peut être réduite à mesure que les apprenants deviennent plus expérimentés et que leurs connaissances en mémoire à long terme peuvent prendre le relais.

Ainsi, au sein d’une même classe, des élèves différents peuvent réaliser le même apprentissage, avec les mêmes problèmes, mais présentés différemment : on fournira une résolution détaillée aux élèves novices alors qu’on laissera les élèves plus avancés s’attaquer au problème sans avoir la résolution. C’est une manière efficace de faire de la différenciation en modifiant le support donné aux élèves, mais pas la connaissance à apprendre.

Cet effet du renversement dû à l’expertise met en évidence, encore une fois, que les élèves qui ont des facilités d’apprentissage seront favorisés dans une approche typiquement utilisée en pédagogie active, où les élèves sont plus souvent livrés à eux-mêmes, où ils doivent tester, tâtonner et découvrir comment résoudre un problème en étant peu guidés, alors que les élèves qui ont des difficultés d’apprentissage sont défavorisés par cette approche, qui est pourtant développée à la base dans le but de servir d’ascenseur social aux élèves moins favorisés. On voit donc que l’objectif visé n’est pas réalisable avec les méthodes prônées.

Application en classe

Voyons un peu comment nous pouvons concrètement aider nos élèves à mieux apprendre à résoudre des problèmes en utilisant l’effet du problème résolu. Dans l’idéal, il faudrait fournir aux élèves une grande quantité de problèmes résolus, de niveaux de complexité variable, et avec au minimum une résolution complète pour chaque variante possible d’un problème. Ces problèmes résolus doivent contenir l’énoncé et une solution étape par étape, complètement détaillée et explicitée, accessible au même moment que l’énoncé.

Il ne faut pas se contenter de donner une série de problèmes résolus aux élèves et de penser que c’est là la solution miracle pour qu’ils sachent résoudre des problèmes sur le long terme. L’automatisation des procédures doit être travaillée régulièrement, car elle demande du temps et se fait lentement. Les élèves ne peuvent donc pas se contenter d’étudier des résolutions toutes faites sans jamais résoudre de problèmes eux-mêmes.

Les problèmes résolus sont utiles, mais ils doivent être combinés avec d’autres paramètres importants pour l’apprentissage à long terme : il faut par exemple espacer les apprentissages, revenir sur d’anciens apprentissages pour que ceux-ci s’ancrent à long terme, il faut tester régulièrement les élèves et il faut veiller à entremêler les apprentissages.

Une approche intéressante et simple à mettre en place en classe est le fait d’utiliser une paire de problèmes similaires, dont l’un est entièrement résolu, et dont le second doit être résolu par l’élève. L’idée est alors de fournir aux élèves deux problèmes qui doivent être résolus de façon identique, et de présenter sur une feuille la résolution détaillée du premier problème, que l’élève peut étudier et décortiquer, et sur une seconde feuille de présenter l’énoncé du second problème, que l’élève doit résoudre en suivant le même procédé que pour le problème résolu.

Une autre idée est de fournir aux élèves des exemples résolus, mais de ne pas fournir le même exemple à tous les élèves. Les élèves ont d’abord un temps prévu pour analyser la résolution de leur problème, et dans un second temps, les élèves sont regroupés, par deux ou trois en fonction du nombre de problèmes différents. Chaque élève va alors devoir expliquer aux autres la façon de résoudre le problème qu’il a reçu. Cette façon de faire permet d’utiliser la technique de l’élaboration d’explication, qui est très efficace pour favoriser l’apprentissage. Les élèves peuvent également comparer les différentes résolutions qu’ils ont reçues.

Il est également possible de fournir un problème résolu de façon incorrecte à un élève, et de lui demander d’expliquer pourquoi la résolution n’est pas correcte, et de corriger l’erreur.

Une autre façon intéressante d’utiliser les problèmes résolus est de les combiner aux devoirs que l’on donne aux élèves pour favoriser le retour sur d’anciens chapitres. Par exemple, tu peux préparer 3 exercices résolus sur chaque chapitre, et demander aux élèves de réaliser ces exercices à domicile, comme devoir, mais en leur fournissant la résolution détaillée. Ce devoir peut être réalisé au sein même du chapitre, pour que les élèves pratiquent à domicile, mais il peut également être demandé lors d’un chapitre suivant, afin de revenir sur un apprentissage précédent et de l’ancrer en mémoire à long terme.

Pour les élèves, le devoir est réalisable en autonomie, puisqu’ils disposent de la résolution détaillée. Évidemment, les élèves peuvent simplement recopier la résolution ; il faut donc qu’ils comprennent l’intérêt d’un tel devoir. Pour l’enseignant, le devoir est simple à vérifier ; il ne faut pas vérifier que l’élève a correctement résolu le problème, puisqu’il disposait déjà de la résolution. Il faut simplement vérifier que le devoir a été fait, cela ne prend donc pas longtemps.

Des variantes de l’utilisation de problèmes résolus peuvent encore améliorer l’apprentissage. Par exemple, fournir des exemples de problèmes résolus de façon incorrecte permet aux élèves de se rendre compte des erreurs classiques que font la plupart des élèves. L’utilisation de résolutions erronées doit absolument être signalée clairement aux élèves, et l’erreur réalisée doit être pointée et explicitée, afin que les élèves puissent corriger leurs propres connaissances ou processus erronés. Ce sont les élèves qui ont le plus de connaissances antérieures qui bénéficient le plus des résolutions incorrectes ; celles-ci peuvent donc être utilisées de manière différenciée, en pointant clairement l’erreur commise aux élèves qui ont moins de connaissances antérieures, mais en laissant les élèves qui ont beaucoup de connaissances antérieures chercher l’erreur par eux-mêmes.

Une autre façon d’utiliser les problèmes résolus est de demander aux élèves de comparer deux problèmes résolus. On peut proposer aux élèves plusieurs types de comparaisons :

D’un point de vue des apprentissages, c’est le dernier type de comparaison qui semble le plus intéressant, puisqu’il permet aux élèves de comparer deux méthodes alternatives pour résoudre un même problème, ce qui leur permet d’identifier la stratégie la plus efficace pour ce problème-là, tout en leur montrant différentes stratégies de résolutions, ce qui leur donne une plus grande variété d’approches possibles face à un problème. L’avantage de l’utilisation des comparaisons de problèmes résolus est plus marqué chez les élèves qui ont un meilleur niveau.

Pour résumer tout ça, voilà à quoi pourrait ressembler une séquence de cours sur un sujet spécifique :

Si cette séquence ne ressemble pas du tout à ton enseignement actuel, je te rassure : cela ne ressemble pas du tout à ce que j’ai l’habitude de faire non plus ! J’ai l’habitude de laisser mes élèves chercher comment résoudre un problème, comme on me l’a toujours conseillé.

Au vu de mes récentes découvertes sur l’effet du problème résolu, j’ai voulu tester la chose auprès de mes élèves. J’ai donc complètement changé ma façon d’enseigner mon chapitre sur les équilibres chimiques cette année. Je n’étais pas totalement convaincue au départ, mais j’ai rapidement constaté que les élèves sont plus attentifs, plus appliqués, qu’ils comprennent plus vite et mieux comment résoudre un problème d’équilibre chimique (type de problème qui a toujours posé problème à mes élèves depuis que j’enseigne, car ils combinent des concepts chimiques pas simples et de la résolution d’équations mathématiques). Et ce n’est pas une classe qui a de meilleurs résultats que les années précédentes pour les autres chapitres. Je vais donc continuer dans cette direction, en essayant de fournir de plus en plus d’exemples résolus à mes élèves.

Cela demande évidemment beaucoup de temps pour rédiger proprement et correctement des résolutions complètes. Pour ne pas que cette charge de travail soit trop importante, j’ai préféré rédiger tout ça à la main. Je scanne ensuite les résolutions avec l’application gratuite “Office Lens”, qui numérise mes résolutions en quelques secondes et m’en fait un PDF qui est envoyé automatiquement sur mon Drive.

Si tu veux profiter de mes problèmes résolus, je les ajoute petit à petit dans mon Coffre aux Trésors. Si tu n’y as pas encore accès, tu peux le découvrir dans la boutique.